抗力錐擺

抗力錐擺

物理 |

目的

演示物體進行錐擺運動時，繩子張力造成的影響

實驗

架子上有一條細繩，左邊繫著一個鋼珠，繩子另一端則掛著一個砝碼。起動鋼珠使之旋轉形成錐擺運動，並觀察其變化。

用手控制繩子張力，觀察錐擺的變化。

原理思考

為什麼較輕的鋼珠經由旋轉就可以與較重的砝碼抗衡？
錐擺的擺角會受到什麼因素影響呢？
若砝碼質量增加，錐擺會發生什麼變化呢？

當錐擺擺動的時候，繩張力除了抵抗重力外，還要提供鋼珠做圓周運動所需的向心力。
整個系統的示意圖如下：

cone pendulum and centripetal force

其中

$m$ ：鋼珠的質量

$M$ ：砝碼的質量

$\theta$ ：錐擺頂端的擺角

$T$ ：繩子張力

欲求出平衡狀態時錐擺的擺角 $\theta$

鉛直方向：靜力平衡，所以 $Tcos\theta =mg$

又因 $T=Mg$

可得 $cos\theta =\frac{m}{M}$

處於平衡狀態時，錐擺的擺角與繩子兩端重物的質量有關。

若把錐擺當成系統，繩子質量不計，系統在穩定狀態時，鋼珠受到兩個力:繩子張力 $T$ 和鋼珠的重力 $mg$ 。把錐擺的頂點當成轉軸，系統受到重力產生的力矩 $\tau=mgr$ ；而系統的角動量則是 $Rmv$ ，其中 $r$ 為錐形底部的圓半徑； $R$ 則是錐形的斜邊長。

在「移動」裡，「力」能改變物體的「動量」；而在「轉動」裡，「力矩」則會改變系統的「角動量」。錐擺的過程中，角動量並不守恒，但由於力矩的方向永遠都會與角動量方向垂直，所以，錐擺系統的「角動量方向」會一直改變，「角動量大小」則維持不變。

比較不同繩張力產生的錐擺，設 $r_{1}>r_{2}$ ，由於角動量大小不會變，我們可以列出等式：

$r_{1}m\upsilon _{1}= r_{2}m\upsilon _{2}$ (左右同除以 $m$ )

得到 $r_{1}\upsilon _{1}= r_{2}\upsilon _{2}$

鋼珠做圓周運動的向心加速度 $a_{c}=\frac{v^{2}}{r}$

$a_{c2}=\frac{v_{2}^{2}}{r_{2}}=\frac{(\frac{r_{1}}{r_{2}}v_{1})^{2}}{r_{2}}=\frac{{r_{1}}^{2}}{{r_{2}}^{3}}{v_{1}}^{2}$

$\therefore a_{c2}=a_{c1}\left (\frac{r_{1}}{r_{2}}\right )^{3}$

綜合第2點的結論，若右側的砝碼 $M$ 變重，其錐擺的擺角即 $\theta$ 會增加，向心加速度也會增加。

討論

為什麼即使平衡了，砝碼仍然會漸漸下降？
錐擺的擺長變短後，轉動的角速度為何會變快？

在「原理思考」裡的討論並沒有加入阻力(eg 摩擦力)，錐擺的最頂端不斷的跟洞孔摩擦，使得錐擺的角動量逐漸變小，導致繩子張力不足以提供鋼珠做圓周運動。
錐擺擺長變短之後，由於角動量的「大小」不變，，因角動量守恆，所以角速度會加快。

關於實驗

本實驗於2011全國物理教學及示範研討會中發表。
可與衣架上的錢幣及角動量守恆-進動篇比較。

參考資料

University Physics, John Wiley & Sons, Inc, 1995, USA, CH12., Harris Benson

製作

施堡仁

指導老師

朱慶琪

撰稿

施堡仁

校稿

盧楷文