蛇擺

目的

用優美的方式詮釋單擺的週期

實驗

實驗裝置：

1.15條(或10條)不同擺長的單擺固定於同一支架上，推動單擺使其開始擺動，觀察過程中的變化

2.第三版造型不同的蛇擺演示

原理思考

1.蛇擺，由數個單擺所組成

2.開始擺動後，出現行進波的形狀。行進波的波長隨著時間變化，越來越短。漸漸進入紊亂的狀態，看不出波形。接著進入(編號)單數球與雙數球分開兩邊的過程，接下來彷彿重複前半周期的狀態，但仔細看時會發現行進波的方向變了，與前半周期的行進方向相反。最後回到初始的一直線狀態。

1.假設蛇擺一個週期為 $\Gamma$ ，其亦為最長的單擺擺動 $N$ 次、次長的單擺擺動 $N+1$ 次、……、最短的單擺擺動 $N+n$ 次所需的時間。因此，各個單擺週期則可寫成

$\frac{\Gamma }{N+n}$ (1)

每個單擺間隔d ，最長單擺到最短單擺之間距離可得為 $x=nd$ ，由熟知的單擺週期公式：

$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ (L：單擺擺長) (2)

由(1)式等於(2)式可推得 $L(x)=g[\frac{\Gamma d}{2\pi (Nd+x)}]^2$ ，這就是我們所觀察到蛇擺擺錘的連線。

2.蛇擺在運動時為正弦函數，故可假設位移為 $y(x,t)=Asin(kt+\omega t+\phi)$ ，其中 $\phi$ 為起始位置，可設為零，以利於計算。

單擺因擺長不同，故 $\omega$ 會隨位置而改變，可寫成 $\omega$ (x)，角頻率 $\omega$ 可由(1)式和(2)式推得為 $2\pi\frac{Nd+x}{\Gamma d}$ 。

若只考慮 $\omega$ 的影響，在起始情況下波數 $k$ 為零，則位移

$y(x,t)=Asin[2\pi\frac{Nd+x}{\Gamma d}t]$ (3)

將(3)式整理可得 $y(x,t)=Asin[2\pi(\frac{t}{\Gamma d})x+2\pi\frac{N}{\Gamma}t]$ ，這就是蛇擺隨時間變化的函數。

3.證明蛇擺擺動後經過數個週期Gamma仍和第一個週期是相同的：

$y(x,t+m\Gamma)$

$=Asin[2\pi(\frac{t+m\Gamma}{\Gamma d})x+2\pi\frac{N}{\Gamma}(t+m\Gamma)]$

$= Asin[2\pi(\frac{t}{\Gamma d})x +2\pi \frac{N }{\Gamma } t+2\pi mn\left ( n+N \right )]$

$= Asin[2\pi(\frac{t}{\Gamma d})x +2\pi \frac{N }{\Gamma } t]$

$=y\left ( x,t \right )$

$y\left ( x,t +m\Gamma \right )=y\left ( x,t \right )$ ，推得了蛇擺的週期性。

討論

1.蛇擺的週期和各個單擺的週期有什麼關係？

2.簡諧運動的「相位(Phase)」在這個演示中扮演時麼角色？

3.若將起始振幅加大，會產生什麼結果？

4.若將所有的單擺擺長增加或縮短相同長度，又會如何？

關於實驗

1.此實驗的製作上，最關鍵的部分在擺長的微調機制。我們的作法是將擺線固定在螺絲上，藉由螺絲的轉動來調整擺長。調整至需要的高度後，再以螺帽固定螺絲位置，如此也就固定了擺長。(第二、三版改用樂器弦鈕做為調線機制)

2.可同本網站中的簡易蛇擺及大型蛇擺做比較。

3.蛇擺的擺長（單位：公分）

4.國立臺灣師範大學物理系的黃福坤教授在其物理教學示範實驗教室網站裡寫有蛇擺的動畫，其正式名稱為Pendulum Wave，意即「擺波」。

5.蛇擺開始擺動後，從開始的一直線回到一直線所需的時間。

6.此處假設蛇擺由 $n+1$ 個單擺組合而成

參考資料

"Fundamentals of Physics", 7th ed., John Wiley & Sons, 2005, New York. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker

"Pendulum waves: A demonstration of wave motion using pendula", Am. J. Phys., <strong>59</strong> (2), 1991 R. E. Berg

"Pendulum waves: A lesson in aliasing", Am. J. Phys., <strong>69</strong> (7), 2001 J. A. Flaten, K. A. Parendo

PENDULUM WAVES (Unerversity of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

PENDULUM WAVES-COMMERCIAL VERSION (Unerversity of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

製作

v.1 黃時霖

v.2 蔡昌翰

v.3 蔡昌翰

指導老師

朱慶琪

撰稿

黃時霖、朱慶琪