環擺與弧擺

目的

驗證環物理擺與弧物理擺的週期。

實驗

實驗裝置：製做兩個具相同內、外徑的環形擺，一個保持原狀，另一個切成只有原來一半的兩個物理擺，分別稱為環物理擺及弧物理擺（以下簡稱環擺、弧擺），在環擺的任一點及弧擺的弧長中點嵌入軸承當作擺動的支點。兩者在同一高度並同時釋放，觀察兩者擺動的週期。

原理思考

為何兩個擺的週期是一樣的？

我們對一物體的質點作力學分析時，可得到一個物理擺的周期與其轉動慣量和質心到支點距離有關，其公式如下：

$T=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgh}}$

一個半徑為 $r$ 的環擺，以其質心轉動時，轉動慣量 $I_{(c.m.)}$ 為：

$I_{(c.m.)}=mr^{2}$

今以圓周上一點進行轉動時(即 $d=r$ 時)，其轉動慣量 $I_{c}$ 依平行軸定理可寫為：

$I_{c}=I_{(c.m.)}+md^{2}=mr^{2}+md^{2}=2mr^{2}$

故其擺動周期 $T_{c}$ 為：

$T_{c}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}=2\pi\sqrt{\frac{2mr^{2}}{mgr}}=2\pi\sqrt{\frac{2r}{g}}$

上式即為環擺的週期。其中 $m$ 為質量， $r$ 為半徑， $g$ 為重力加速度。

今將此環擺切成一半，則質量變為 $\frac{1}{2}m$ , 假設質心位置偏離圓心距離 $a$ 。

經計算得知弧擺質心的轉動慣量 $I_{hc(c.m.)}$ 為：

$I_{hc(c.m.)}=\frac{1}{2}m(r^{2}-a^{2})$

再次運用平行軸定理可得，弧擺的邊上中點轉動之轉動慣量 $T_{hc}$ 為：

$T_{hc}=2\pi\sqrt{\frac{mr(r-a)}{mg(r-a)}}=2\pi\sqrt{\frac{2r}{g}}=T_{c}$

從以上我們便知道，環擺與弧擺之週期相等。

討論

不論是環擺或弧擺均有內、外徑存在，而支點在也並非在最外部，故其有實驗誤差存在，試想該如何修正其誤差？

1.擺具內、外徑（結構詳圖一），分別為 $r_{a}$ 與 $r_{b}$ ，

ring pendulum fig1

故質心轉動的轉動慣量修正為：

$I'_{c(c.m.)}=\frac{m(r_{a}^{2}+r_{b}^{2})}{2}$

因支點位於距質心 $\frac{r_{a}+r_{b}}{2}$ 處，故支點到質心的距離修正為：

$d'=\frac{r_{a}+r_{b}}{2}$

實際支點轉動的轉動慣量根據平行軸定理可寫成：

$I'_{c}=\frac{m(r_{a}^{2}+r_{b}^{2})}{2}+m(\frac{r_{a}+r_{b}}{2})^{2}=\frac{m(3r_{a}^{2}+2r_{a}r_{b}+3r_{b}^{2})}{4}$

故引進誤差後的環擺週期為：

$T'_{c}=2\pi\sqrt{\frac{\frac{m(3r_{a}^{2}+2r_{a}r_{b}+3r_{b}^{2})}{4}}{\frac{mg(r_{a}+r_{b})}{2}}}=2\pi\sqrt{\frac{2(\frac{r_{a}+r_{b}}{2})}{g}+\frac{(\frac{r_{a}-r_{b}}{2})^{2}}{g(\frac{r_a+r_{b}}{2})}}$

2.同理可得實際弧擺（結構詳圖二）的週期為：

partial ring pendulum fig1

$T'_{c}=2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{2}(\frac{r_{a}^{2}+r_{b}^{2}}{2})-\frac{1}{2}mx^{2}+\frac{1}{2}m(\frac{r_{a}+r_{b}}{2}-x)^{2}}{\frac{1}{2}mg(\frac{r_{a}+r_{b}}{2}-x)}}=2\pi\sqrt{\frac{2(\frac{r_{a}+r_{b}}{2})}{g}+\frac{(\frac{r_{a}-r_{b}}{2})^{2}}{g(\frac{r_{a}+r_{b}}{2}-x)}}$ 其中x為弧擺質心與環擺質心的偏移量。

3.我們將後面引進的誤差項拿來討論：

$0<E_{cr}=\frac{(\frac{r_{a}-r_{b}}{2}^{2})}{g(\frac{r_{a}+r_{b}}{2})}<\frac{(\frac{r_{a}-r_{b}}{2}^{2})}{g(\frac{r_{a}+r_{b}}{2}-x)}=E_{hcr}$

其中 $E_{cr}$ 為環擺的引進誤差、 $E_{hcr}$ 為弧擺的引進誤差，由上式可知道，當環擺與弧擺存在厚度（內外徑 $r_{a}$ 、 $r_{b}$ ）時，實際上的週期為弧擺大於環擺。

另軸承嵌入的誤差通常遠小於 $x$ ，故忽略不計，軸承的摩擦力亦忽略。

關於實驗

可同本網站中的單擺與複擺及平行軸定理做比較
製作時可將軸承用丙酮浸泡，去除內部黏滯係數較大的的黃油後，再塗黏滯係數較小的液體潤滑劑（如WD-40或黏滯係數較低的機油），以減低軸承的摩擦力。

參考資料

Physics for Scientists and Engineers: A Strategic Approach: With Modern Physics , Addison Wesley, 2004, p.383-p.386. Randall D. Knight

Why Toast Lands Jelly-Side Down: Zen and the Art of Physics Demonstrations (Princeton, N.J. : Princeton University Press, 1997), p.126-p.127. Robert Ehrlich

“The partial ring pendulum”,The American Journal of Physics, 63, 1014-17(1995)D. Wagner, T Walkerwecz, and D. G. Hinan

製作

v1.黃朝暉

v2.廖奕瑋

配樂

v1.廖奕瑋

指導老師

吳心恒、朱慶琪

撰稿

黃朝暉